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2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）
理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集 ，则集合 （ ）
A． B． C． D．
2.设复数z满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3.已知 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
4.已知m，n表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是（ ）
A．若 则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
5.设 是非零向量，已知命题P：若 ， ，则 ；命题q：若 ，则 ，则下列命题中真命题是（ ）
A． B． C． D．
6.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（ ）
A．144 B．120 C．72 D．24
7.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
8.设等差数列 的公差为d，若数列 为递减数列，则（ ）
A． B． C． D．
9.将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
A．在区间 上单调递减 B．在区间 上单调递增
C．在区间 上单调递减 D．在区间 上单调递增
10.已知点 在抛物线C： 的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（ ）
A． B． C． D．
11.当 时，不等式 恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12.已知定义在 上的函数 满足：
① ；
②对所有 ，且 ，有 .
若对所有 ， ，则k的最小值为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.执行右侧的程序框图，若输入 ，则输出 .
14.正方形的四个顶点 分别在抛物线 和 上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在阴影区域的概率是 .
15.已知椭圆C： ，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则 .
16.对于 ，当非零实数a，b满足 ，且使 最大时， 的最小值为 .
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）
在 中，内角A，B，C的对边a，b，c，且 ，已知 ， ， ，求：
（1）a和c的值；
（2） 的值.
18. （本小题满分12分）
一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.
（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；
（2）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望 及方差 .
19. （本小题满分12分）
如图， 和 所在平面互相垂直，且 ， ，E、F分别为AC、DC的中点.
（1）求证： ；
（2）求二面角 的正弦值.
20. （本小题满分12分）
圆 的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线 过点P且离心率为 .
（1）求 的方程；
（2）椭圆 过点P且与 有相同的焦点，直线 过 的右焦点且与 交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆心过点P，求 的方程.
21. （本小题满分12分）
已知函数 ， .
证明：（1）存在唯一 ，使 ；
（2）存在唯一 ，使 ，且对（1）中的 .
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.
22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，EP交圆于E、C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且 ，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.
（1）求证：AB为圆的直径；
（2）若AC=BD，求证：AB=ED.
23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
将圆 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.
（1）写出C的参数方程；
（2）设直线 与C的交点为 ，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段 的中点且与 垂直的直线的极坐标方程.
24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数 ， ，记 的解集为M， 的解集为N.
（1）求M；
（2）当 时，证明： .
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