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2014年江苏高考数学试题
数学Ⅰ试题
参考公式:
圆柱的侧面积公式:S圆柱=cl, 其中c是圆柱底面的周长，l为母线长.
圆柱的体积公式:V圆柱=Sh,其中S是圆柱的底面积，h为高.
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1．已知集合 ， ，则 ．
【答案】
2．已知复数 (i为虚数单位)，则z的实部为 ．
【答案】21
3．右图是一个算法流程图，则进步网输出的n的值是 ．
【答案】5来源进步网www.szjjedu.com
4．从 这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的
概率是 ．
【答案】
5．已知函数 与 ，它们的图象有一个横坐标为
的交点，则 的值是 ．
【答案】 来源进步网www.szjjedu.com
6．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间 上，其频率进步网分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 株
树木的底部周长小于100 cm．
【答案】24
7．在各项均为正数的等比数列 中，若 ， ，
则 的值是 ．来源进步网www.szjjedu.com
【答案】4
8．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 ，体积分别为 ，若它们的侧面积相等，且 ，则 的值是 ．
【答案】
9．在平面直角坐标系xOy中，直线 被圆 截得的弦长为 ．
【答案】 来源进步网www.szjjedu.com
10．已知函数 ，若对任意 ，都有 成立，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
11．在平面直角坐标系xOy中，若曲线 ( 为常数)过点 ，且该曲进步网线在点P处的切线与直线 平行，则 的值是 ．
【答案】
12．如图，在平行四边形ABCD中，已知， ， ，则 的
值是 ．来源进步网www.szjjedu.com
【答案】22
13．已知 是定义在R上且周期为3的函数，当 时， ．若函数 在区间 上有10个零点(互不相同)，则实数a的取进步网值范围是 ．
【答案】
14．若 的内角满足 ，则 的最小值是 ．
【答案】 来源进步网www.szjjedu.com
二、解答题：本大题共6小题, 共计90 分. 请在答题卡指定区域内作答, 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．(本小题满分14 分)已知 ， ．
（1）求 的值；
（2）求 的值．
【答案】本小题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差及二倍角进步网的公式，考查运算求解能
力. 满分14分.
（1）∵ ，来源进步网www.szjjedu.com
∴
；
（2）∵
∴ ．
16．(本小题满分14 分)如图，在三棱锥 中， 分别为棱 的中点．已知 ．
（1）求证：直线PA∥平面DEF；来源进步网www.szjjedu.com
（2）平面BDE⊥平面ABC．
【答案】本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与进步网平面的位置关系，
考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.
（1）∵ 为 中点 ∴DE∥PA
∵ 平面DEF，DE 平面DEF ∴PA∥平面DEF
（2）∵ 为 中点 ∴
∵ 为 中点 ∴ 来源进步网www.szjjedu.com
∴ ∴ ，∴DE⊥EF
∵ ，∴
∵ ∴DE⊥平面ABC
∵DE 平面BDE， ∴平面BDE⊥平面ABC．
17．(本小题满分14 分)如图，在平面直角坐标系xOy中， 分别是椭圆 的左、右焦点，顶点B的坐标为 ，连结 并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连结 ．
（1）若点C的坐标为 ，且 ，求椭圆进步网的方程；
（2）若 ，求椭圆离心率e的值．来源进步网www.szjjedu.com
【答案】本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系进步网等基础知识，考查运
算求解能力. 满分14分.
（1）∵ ，∴
∵ ，∴ ，∴
∴椭圆方程为
（2）设焦点
∵ 关于x轴对称，∴ 来源进步网www.szjjedu.com
∵ 三点共线，∴ ，即 ①
∵ ，∴ ，即 ②
①②联立方程组，解得 ∴
∵C在椭圆上，∴ ，
化简得 ，∴ , 故离心率为 来源进步网www.szjjedu.com
18．(本小题满分16分)如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m．经测量，点A位于点O正北进步网方向60m处，点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸)， ．
（1）求新桥BC的长；
（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？
解：本小题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形等基础知识，考查建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力.满分16分. 来源进步网www.szjjedu.com
解法一：
(1) 如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平进步网面直角坐标系xOy.
由条件知A(0, 60)，C(170, 0)，
直线BC的斜率k BC=－tan∠BCO=－ .
又因为AB⊥BC，所以直线AB的斜率k AB= .
设点B的坐标为(a,b)，则k BC=
k AB= 来源进步网www.szjjedu.com
解得a=80，b=120. 所以BC= .
因此新桥BC的长是150 m.
(2)设保护区的边界圆M的半径为r m,OM=d m,(0≤d≤60).
由条件知，直线BC的方程为 ，即
由于圆M与直线BC相切，故点M(0，d)到直线BC的距进步网离是r，
即 .来源进步网www.szjjedu.com
因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,
所以 即 解得
故当d=10时, 最大，即圆面积最大.
所以当OM = 10 m时，圆形保护区的面积最大.
解法二:(1)如图，延长OA, CB交于点F.
因为tan∠BCO= .所以sin∠FCO= ，cos∠FCO= .
因为OA=60,OC=170，所以OF=OC tan∠FCO= .来源进步网www.szjjedu.com
CF= ,从而 .
因为OA⊥OC，所以cos∠AFB=sin∠FCO= ，
又因为AB⊥BC，所以BF=AF cos∠AFB= ，从而BC=CF－BF=150.
因此新桥BC的长是150 m.
(2)设保护区的边界圆M与BC的切点为D，连接MD，则MD⊥BC，且MD是圆M的半
径，并设MD=r m，OM=d m(0≤d≤60).
因为OA⊥OC，所以sin∠CFO =cos∠FCO，
故由(1)知，sin∠CFO = 所以 .
因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m, 来源进步网www.szjjedu.com
所以 即 解得
故当d=10时, 最大，即圆面积最大.
所以当OM = 10 m时，圆形保护区的面积最大.
19．(本小题满分16分)已知函数 其中e是自然对数的进步网底数．
（1）证明： 是 上的偶函数；来源进步网www.szjjedu.com
（2）若关于x的不等式 在 上恒成立，求实数m的取值范围；
（3）已知正数a满足：存在 ，使得 成立．试比较 与 的大小，并证明你的结论．
【答案】本小题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等基础知识，考查综合运用数学思想
方法分析与解决问题的能力.满分16分.
（1） ， ，∴ 是 上的偶函数
（2）由题意， ，即
∵ ，∴ ，即 对 恒成立
令 ，则 对任意 恒成立
∵ ，当且仅当 时等进步网号成立
∴
（3） ，当 时 ，∴ 在 上单调增
令 ，
∵ ，∴ ，即 在 上单调减
∵存在 ，使得 ，∴ ，即
∵
设 ，则
当 时， ， 单调增；
当 时， ， 单调减
因此 至多有两个零点，而
∴当 时， ， ；
当 时， ， ；
当 时， ， ．来源进步网www.szjjedu.com
20．(本小题满分16分)设数列 的前n项和为 ．若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得 ，则称 是“H数列”．
（1）若数列 的前n项和 ，证明： 是“H数列”；
（2）设 是等差数列，其首项 ，公差 ．若 是“H数列”，求d的值；
（3）证明：对任意的等差数列 ，总存在两个“H数列” 和 ，使得 成立．
【答案】本小题主要考查数列的概念、等差数列等基础知识，考查探究能力及推理进步网论证能力, 满分16分.
（1）当 时，
当 时，
∴ 时， ，当 时，
∴ 是“H数列”
（2） 来源进步网www.szjjedu.com
对 ， 使 ，即
取 得 ，
∵ ，∴ ，又 ，∴ ，∴
（3）设 的公差为d
令 ，对 ，
，对 ，
则 ，且 为等差数列
的前n项和 ，令 ，则
当 时 ；
当 时 ；
当 时，由于n与 奇偶性不同，即 非负偶数，
因此对 ，都可找到 ，使 成立，即 为“H数列”．
的前ｎ项和 ，令 ，则
∵对 ， 是非负偶数，∴
即对 ，都可找到 ，使得 成立，即 为“H数进步网列”
因此命题得证. 来源进步网www.szjjedu.com
数学Ⅱ(附加题)
21.【选做题】本题包括A, B,C,D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.【选修4-1:几何证明选讲】(本小题满分10分)
如图，AB是圆O的直径，C、 D是圆O 上位于AB异侧的进步网两点
证明:∠OCB=∠D.
本小题主要考查圆的基本性质，考查推理论证能力.满分10分.
证明：因为B, C是圆O上的两点，所以OB=OC.
故∠OCB=∠B.
又因为C, D是圆O上位于AB异侧的两点，来源进步网www.szjjedu.com
故∠B，∠D为同弧所对的两个圆周角，
所以∠B=∠D.
因此∠OCB=∠D.
B.【选修4-2:矩阵与变换】(本小题满分10分)
已知矩阵 ， ，向量 ， 为实数，若 ，求 的值．
【答案】本小题主要考查矩阵的乘法等基础知识，考查运算求解能力.满分10分.
， ，由 得 解得
C.【选修4-4:坐标系与参数方程】(本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为 (t为参数)，直线l与抛物线 交于 两点，求线段AB的长．来源进步网www.szjjedu.com
【答案】本小题主要考查直线的参数方程、抛物线的标准方程等基础知识，考查运算求进步网解能力.满分10分.
直线l： 代入抛物线方程 并整理得
∴交点 ， ，故
D.【选修4-5:不等式选讲】(本小题满分10分)
已知x>0, y>0,证明：(1+x+y2)( 1+x2+y)≥9xy.
本小题主要考查算术一几何平均不等式.考查推理论证能力.满分10分.
证明：因为x>0, y>0, 所以1+x+y2≥ ，1+x2+y≥ ，
所以(1+x+y2)( 1+x2+y)≥ =9xy.
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 来源进步网www.szjjedu.com
22．(本小题满分10分)
盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．
（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；
（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为 ，随机变量X表示 中的最大数，求X的概率分布和数学期望 ．
22.【必做题】本小题主要考查排列与组合、离散型随机变量的均值等基础知识，考查进步网运算求解能力.满分10分.
（1）一次取2个球共有 种可能情况，2个球颜色相同共有 种可能情况
∴取出的2个球颜色相同的概率
（2）X的所有可能取值为 ，则
∴X的概率分布列为
X 2 3 4
P
故X的数学期望
23．(本小题满分10分)
已知函数 ，设 为 的导数， ．
（1）求 的值；
（2）证明：对任意的 ，等式 成立．
23.【必做题】本题主要考查简单的复合函数的导数，考查探究能力及运用数学进步网归纳法的推理论证能力.满分10分. 来源进步网www.szjjedu.com
(1)解：由已知，得
于是
所以
故
(2)证明：由已知，得 等式两边分别对x求导，得 ，
即 ，类似可得
，
，来源进步网www.szjjedu.com
.
下面用数学归纳法证明等式 对所有的 都成立.
(i)当n=1时，由上可知等式成立.
(ii)假设当n=k时等式成立, 即 .
因为
，
所以 .来源进步网www.szjjedu.com
所以当n=k+1时,等式也成立.
综合(i),(ii)可知等式 对所有的 都进步网成立.
令 ，可得 ( ).
所以 ( ).
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