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2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标I（河南、河北、山西）
理科数学
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合A={ | }，B={ |－2≤ ＜2}，则 =
.[-2,-1] .[-1,2） .[-1,1] .[1,2）
2. = 来源进步网www.szjjedu.com
. . . .
3.设函数 ， 的定义域都为R，且 时奇函数， 是偶函数，则下列结论正确的是
. 是偶函数 .| | 是奇函数
. | |是奇函数 .| |是奇函数
4.已知 是双曲线 ： 的一个焦点，则点 到 的一条渐近线的距离为 . .3 . .
5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率进步网
. . . .
6.如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角 的始边为射线 ，终边为射线 ，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，将点 到直线 的距离表示为 的函数 ，则 = 在[0, ]上的图像大致为
7.执行下图的程序框图，若输入的 分别为1,2,3，则输出的 = 来源进步网www.szjjedu.com
. . . .
8.设 ， ，且 ，则
. . . .
9.不等式组 的解集记为 .有下面四个命题：
： ， ： ,
： ， ： .来源进步网www.szjjedu.com
其中真命题是
. ， . ， . ， . ，
10.已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ， 是 上一点， 是直线 与 的一个焦点，若 ，则 =
. . .3 .2
11.已知函数 = ，若 存在唯一的零点 ，且 ＞0，则 的取值范围为
.（2，+∞） .（-∞，-2） .（1，+∞） .（-∞，-1）
12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为
. . .6 .4
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。
二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。来源进步网www.szjjedu.com
13. 的展开式中 的系数为 .(用数字填写答案)
14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市； 乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为 .
15.已知A，B，C是圆O上的三点，若 ，则 与 的夹角为 .
16.已知 分别为 的三个内角 的对边， =2，且 ，则 面积的最大值为 .
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12分)已知数列{ }的前 项和为 ， =1， ， ，其中 为常数.
（I）证明： ；
（Ⅱ）是否存在 ，使得{ }为等差数列？并说明理由. 进步网
18. (本小题满分12分)从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
（I）求这500件产品质量指标值的样本平均数 和样本方差 （同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值 服从正态分布 ，其中 近似为样本平均数 ， 近似为样本方差 .来源进步网www.szjjedu.com
（i）利用该正态分布，求 ；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记 表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求 .
附： ≈12.2.若 ～ ，则 =0.6826， =0.9544.
19. (本小题满分12分)如图三棱锥 中，
侧面 为菱形， .
（I）证明： ；
（Ⅱ）若 ， ，AB=Bc，求二面角 的余弦值.
20. (本小题满分12分) 已知点 （0，-2），椭圆 ： 的离心率为 ， 是椭圆的焦点，直线 的斜率为 ， 为坐标原点.
（I）求 的方程；
（Ⅱ）设过点 的直线 与 相交于 两点，当 的面积最大时，求 的方程.
21. (本小题满分12分)设函数 ，曲线 在点（1， ）处的切线为 . （I）求 ； （Ⅱ）证明： .
请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。
22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲来源进步网www.szjjedu.com
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE
(Ⅰ)证明：∠D=∠E；
（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形.
23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线 ： ，直线 ： （ 为参数）.
（I）写出曲线 的参数方程，直线 的普通方程；
（Ⅱ）过曲线 上任一点 作与 夹角为 的直线，交 于点 ，求 的最大值与最小值.
24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲进步网
若 ，且 .
（I） 求 的最小值；
（Ⅱ）是否存在 ，使得 ？并说明理由.
2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标I 答案
1—5ADCAD 6—12 CDCBBCB 13．－20 14．A 15．90° 16．
17．【解析】：(Ⅰ)由题设 ， ，两式相减
，由于 ，所以 …………6分
（Ⅱ）由题设 =1， ，可得 ，由(Ⅰ)知
假设{ }为等差数列，则 成等差数列，∴ ，解得 ；
证明 时，{ }为等差数列：由 知
数列奇数项构成的数列 是首项为1，公差为4的等差数列
令 则 ，∴ 来源进步网www.szjjedu.com
数列偶数项构成的数列 是首项为3，公差为4的等差数列
令 则 ，∴
∴ （ ）， 进步网
因此，存在存在 ，使得{ }为等差数列. ………12分
18．【解析】：(Ⅰ) 抽取产品质量指标值的样本平均数 和样本方差 分别为
…………6分
（Ⅱ）（ⅰ）由(Ⅰ)知 ～ ，从而
………………9分
（ⅱ）由（ⅰ）知，一件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的概率为0.6826
依题意知 ，所以 ………12分
19．【解析】：(Ⅰ)连结 ，交 于O，连结AO．因为侧面 为菱形，所以 ?，且O为 与 的中点．又 ，所以 平面 ，故 ?又 ，故 ………6分
（Ⅱ）因为 且O为 的中点，所以AO=CO? 又因为AB=BC?，所以
故OA⊥OB?，从而OA，OB， 两两互相垂直． 来源进步网www.szjjedu.com
以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，OB为单位长，进步网建立如图所示空间直角坐标系O- ． 因为 ，所以 为等边三角形．又AB=BC?，则
， ， ，
，
设 是平面的法向量，则
，即 所以可取
设 是平面的法向量，则 ，同理可取
则 ，所以二面角 的余弦值为 .
20．【解析】(Ⅰ) 设 ??，由条件知 ，得 ? 又 ，
所以a=2?， ,故 的方程 . ……….6分来源进步网www.szjjedu.com
（Ⅱ）依题意当 轴不合题意，故设直线l： ，设
将 代入 ，得 ，
当 ，即 时，
从而 ? ?
又点O到直线PQ的距离 ，所以 OPQ的面积 ，
设 ，则 ， ，
当且仅当 ， 时等号成立，且满足 ，所以当 OPQ的面积最大时， 的方程为： 或 . …………………………12分
21．【解析】(Ⅰ) 函数 的定义域为 ，
由题意可得 ??，故 ……………6分来源进步网www.szjjedu.com
（Ⅱ）由(Ⅰ)知， ，从而 等价于
设函数?? ，则 ，所以当 ??时， ??，当 ??时， ??，故 ??在?? 单调递减，在?? 单调递增，从而?? 在 ???的最小值为? . ……………8分进步网
设函数?? ，则 ，所以当 ??时， ??，当 ??时， ??，故 ??在?? 单调递增，在?? 单调递减，从而?? 在 ???的最小值为? . 综上：当 时， ，即 . ……12分
22．【解析】.(Ⅰ) 由题设知得A、B、C、D四点共圆，所以 D= CBE，由已知得， CBE= E ,
所以 D= E? ……………5分
（Ⅱ）设BCN中点为，连接MN,则由MB=MC?,知MN⊥BC? 所以O在MN上，又AD不是O的直径，M为AD中点，故OM⊥AD， 即MN⊥AD，所以AD//BC,故 A= CBE， 又 CBE= E，故 A= E???由(Ⅰ)（1）知 D= E， 所以△ADE为等边三角形． ……………10分
23．【解析】.(Ⅰ) 曲线C的参数方程为： （ 为参数），
直线l的普通方程为： ………5分
（Ⅱ）（2）在曲线C上任意取一点P (2cos ,3sin )到l的距离为来源进步网www.szjjedu.com进步网
，
则 ??，其中 为锐角．且 .
当 时， 取得最大值，最大值为 ；
当 时， 取得最小值，最小值为 . …………10分
24．【解析】(Ⅰ) 由 ，得 ，且当 时等号成立，
故 ，且当 时等号成立，∴ 的最小值为 .…5分
（Ⅱ）由(Ⅰ)知： ，
由于 ＞6，从而不存在 ，使得 . …10分
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